Question

10．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）操作发现
如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）猜想论证
如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
（3）拓展研究
如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB的边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，则sinα=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，先利用平移的性质得CF=AD，AC=DF，则可判断四边形ACFD为平行四边形，利用三角形面积公式得到S_△DCF=S_△BCF=S_△ACD，则S_{四边形CDBF}=S_△ACB，然后计算S_△ABC即可；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得DC=DA=DB，则可证明四边形CDBF为平行四边形，于是可判断四边形CDBF为菱形；
（3）作DH⊥AE于H，如图，先计算出AB=2AC=2，则AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1，再利用旋转的性质得∠EFD=90°，EB=$\sqrt{3}$，DE=AB=2，接着利用勾股定理计算出AE=$\sqrt{7}$，然后利用面积法可计算出DH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，再在Rt△EDH中利用正弦的定义求sinα的值．

解答 解：（1）如图1，∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），
∴CF=AD，AC=DF，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴AD∥CF，
∴S_△DCF=S_△BCF=S_△ACD，
∴S_{四边形CDBF}=S_△CDB+S_△BCF=S_△CDB+S_△ACD=S_△ACB，
在Rt△ACB中，∵∠A=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形CDBF}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）四边形CDBF为菱形．理由如下：
如图2，∵点D为斜边AB的中点，
∴DC=DA=DB，
∵CF∥AD，CF=AD，
∴CF=BD，CF∥DB，
∴四边形CDBF为平行四边形，
而DC=DB，
∴四边形CDBF为菱形；

（3）作DH⊥AE于H，如图，
在Rt△ACB中，∵∠A=60°，
∴AB=2AC=2，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，
∴∠EFD=90°，EB=$\sqrt{3}$，DE=AB=2，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵$\frac{1}{2}$DH•AB=$\frac{1}{2}$AD•EB，
∴DH=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
在Rt△EDH中，sinα=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
故答案为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查四边形综合题、平移、旋转的性质和菱形的判定方法、平行线的性质、锐角三角函数、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题