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    7．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A（-1，0），B（5，0）两点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
    （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
    （2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
    （3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

    解答 解：
    （1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A（-1，0），B（5，0）两点，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为y=-x2+4x+5；

    （2）∵AD=5，且OA=1，
    ∴OD=6，且CD=8，
    ∴C（-6，8），
    设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
    代入抛物线解析式可得8=-x2+4x+5，解得x=1或x=3，
    ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
    ∵C（-6，8），
    ∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
    ∴m的值为7或9；

    （3）∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
    ∴抛物线对称轴为x=2，
    ∴可设P（2，t），
    由（2）可知E点坐标为（1，8），
    ①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

    则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
    在△PQN和△EFB中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠BEF}\\{∠PNQ=∠EFB}\\{PQ=BE}\end{array}\right.$
    ∴△PQN≌△EFB（AAS），
    ∴NQ=BF=OB-OF=5-1=4，
    设Q（x，y），则QN=|x-2|，
    ∴|x-2|=4，解得x=-2或x=6，
    当x=-2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=-7，
    ∴Q点坐标为（-2，-7）或（6，-7）；
    ②当BE为对角线时，
    ∵B（5，0），E（1，8），
    ∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
    设Q（x，y），且P（2，t），
    ∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
    ∴Q（4，5）；
    综上可知Q点的坐标为（-2，-7）或（6，-7）或（4，5）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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