Question

16．观察下面的式子：

（1）猜一猜1³+2³+3³+4³+5³等于什么？
（2）猜一猜1³+2³+3³+…n³等于什么？
（3）写出1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³的值．

Answer 1

分析 观察发现，等式的左边是连续整数的立方和；右边是连续整数的和的平方．
（1）由于1+2+3+4+5=15，所以1³+2³+3³+4³+5³=15²；
（2）由于1+2+3+4+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），所以1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²；
（3）由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³=55²．

解答 解：（1）∵1³=1，1=1，
1³+2³=9，1+2=3，
1³+2³+3³=36，1+2+3=6，
1³+2³+3³+4³=100，1+2+3+4=10，
┅┅
∴1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=15²=225；
（2）由（1）的结论得，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+4+…+n）²=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²；
（3）1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³+10³=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）²=55²=3025．

点评 本题考查了规律型：数字的变化类，难度适中．注意找等式的规律时，要观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系．