Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，

∴ ，

解得： ，

∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）解：如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，

设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），

∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，

∴S四边形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF，

= （a+3）（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）（﹣a），

=﹣ ﹣ a+ ，

=﹣ （a+ ）2+ ，

∴当a=﹣ 时，S四边形BOCE最大，且最大值为 ．

此时，点E坐标为（﹣ ， ）；

（3）解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，

∴设P（﹣1，m），

∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，

①当m≥0时，

∴PA=PA1，∠APA1=90°，

如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，

设对称轴于x轴交于点M，

∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，

∴∠NA1P=∠NPA，

在△A1NP与△PMA中，

，

∴△A1NP≌△PMA，

∴A1N=PM=m，PN=AM=2，

∴A1（m﹣1，m+2），

代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，

解得：m=1，m=﹣2（舍去），

②当m＜0时，要使P2A=P2A，2，由图可知A2点与B点重合，

∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，

∴P2（﹣1，﹣2），

∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．

【解析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，F=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．