Question

2．在平面直角坐标系中，已知直线AB 与y轴交于点A，与x轴交于点B，与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于点C（1，6）和点D（3，n）．作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F．
（1）求出m、n的值；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）是否有△AEC≌△DFB，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接将C点坐标代入反比例函数解析式，进而得出m的值，进而求出n的值；
（2）直接利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（3）利用已知解析式求出AE=DF，CE=BF，进而利用全等三角形的判定得出答案．

解答 解：（1）∵点C（1，6）和点D（3，n），
∴依题意得：m=6×1=6，
则n=$\frac{6}{3}$=2，
故m=6，n=2； 

（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b（k≠0）
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=2}\\{k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-2x+8；   

（3）有△AEC≌△DFB，理由如下：
∵y=-2x+8
当x=0时，y=8；
当y=0时，-2x+8=0，
解得：x=4；
∴A（0，8），B （4，0），
∵CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，
∴∠AEC=∠DFB=90°
∵A（0，8），B （4，0）C（1，6），D（3，2），
∴AE=8-6=2，DF=2，CE=1，BF=4-3=1，
∴AE=DF，CE=BF，
在△AEC和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠AEC=∠DFB}\\{EC=BF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFB（SAS）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定和待定系数法求出一次函数、反比例函数解析式等知识，根据题意利用数形结合得出AE=DF，CE=BF是解题关键．