Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为C，已知﹣2≤c≤﹣1，顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的是（　　）

A.a+b＞0

B.

C.对于任意实数m，不等式a+b＞am2+bm恒成立

D.关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根

Answer 1

【答案】B

【解析】

A、由抛物线的顶点坐标代入可得a+b＝n﹣c，由最小值为n可知c＞n，可得结论A错误；

B、利用对称轴可得b＝﹣2a，结合点A的坐标，可得c＝﹣3a，代入已知中c的不等式中，可判定结论B正确；

C、由抛物线的顶点坐标及a＞0，可得出n＝a+b+c，且n≤ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，结论C错误；

D、由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线上移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．

解：A、∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），

∴a+b+c＝n，

∴a+b＝n﹣c，

由图象可知：抛物线开口向上，有最小值是n，

∴n＜c，

∴a+b＝n﹣c＜0，结论A错误；

②∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝3a+c＝0，

∴c＝﹣3a

∵﹣2≤c≤﹣1，

∴﹣2≤﹣3a≤﹣1，

∴，结论B正确；

③∵a＞0，顶点坐标为（1，n），

∴n＝a+b+c，且n≤ax2+bx+c，

∴对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，结论C错误；

④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），

∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，

∵抛物线开口向上，

∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根，结论D错误．

故选：B．