Question

6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，3），点P的坐标是（0，b）（b＞0且b≠3），直线AP交x轴于点B，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，点Q的坐标是（m，0），记点P关于x轴的对称点为P′，连接QP′、BP′．
（1）当b=1时，求△BPP′的面积；
（2）当0＜b＜3时，用含b的代数式表示m；
（3）连接AP′，是否存在b，使△ABP′为直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的b和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A，P的坐标代入直线的解析式，求得B的坐标即可求出结论．
（2）根据两直线垂直斜率的积等于-1，由直线AB的解析式求出直线PQ 的解析式即可得到结果．
（3）如图1，①当∠ABP′=90°时，得到∠PBO=∠P′BO=45°，根据等腰直角三角形的性质求出结论，②当∠AP′B=90°时，过点A作AM⊥y轴于M，根据三角形相似列比例式求得．

解答 解：（1）∵b=1，
∴P（0，1），
设直线AP的解析式为 y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{b=1}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为：y=2x+1，
∴B（-$\frac{1}{2}$，O），
∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴PP′=2，
∴${S}_{△BPP′}=\frac{1}{2}$×$2×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴k+b=3，
∴k=3-b，
∴直线AB的解析式为：y=（3-b）x+b，
∵PQ⊥AB，
∴直线PQ的解析式为：y=$\frac{1}{3-b}$x+b，
当y=0时，x=-b²+3b，
∴m=-b²+3b；

（3）如图1，①当∠ABP′=90°时，
∠PBO=∠P′BO=45°，
∴OB=$\frac{1}{2}$PP′，
由（2）知，直线AB的解析式为：y=（3-b）x+b，
∴B（-$\frac{b}{3-b}$，0），p（0，b），
∴$\frac{b}{3-b}$=b，
∴b=2，
∴当b=m=2时，△ABP′为直角三角形，
②当∠AP′B=90°时，
过点A作AM⊥y轴于M，
则△AMP′∽△P′OB，
∴$\frac{AM}{P′O}$=$\frac{MP′}{BO}$，
∴$\frac{1}{b}$=$\frac{\frac{3+b}{b}}{3-b}$，
∴b²=8，∵b＞0，∴b=2$\sqrt{2}$，
∴m=6$\sqrt{2}$-8．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．