Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0）．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线BB′的函数解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上求出使的所有点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（-1，3）
根据题意，得B′（3，1）
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，，
解得，
∴y=-；

（2）由（1）得，N（0，），M（5，0），
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得
，
解得，
∴二次函数解析式为y=x²+2x+；

（3）∵S_矩形OABC=3×1=3，
∴，
又∵B′C′=3，
∵B′（3，1），
∴点P到B′C′的距离为9，则P点的纵坐标为10或-8．
∵抛物线的顶点坐标为（2，），
∴P的纵坐标是10，不符合题意，舍去，
∴P的纵坐标是-8，
当y=-8时，-8=x²+2x+，
即x²-4x-21=0，
解得x₁=-3，x₂=7，
∴P₁（-3，-8），P₂（7，-8），
∴满足条件的点P的坐标是（-3，-8）和（7，-8）．
分析：（1）根据四边形OABC是矩形可知B（-1，3）．根据旋转的性质，得B′（3，1）．
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，利用待定系数法可解得y=-．
（2）由（1）得，N（0，），M（5，0）．设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得，利用待定系数法解得二次函数解析式为y=x²+2x+．
（3）根据矩形的面积公式可知S_矩形OABC=3×1=3，则．易求得抛物线的顶点坐标为（2，），P的纵坐标是-8．当y=-8时代入二次函数解析式得-8=x²+2x+，即x²-4x-21=0．解得x₁=-3，x₂=7．则P₁（-3，-8），P₂（7，-8）．所以满足条件的点P的坐标是（-3，-8）和（7，-8）．
点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和函数图象上点的意义，矩形的性质与面积，函数和方程之间的关系等．要熟练掌握才能灵活运用．