Question

11．如图，正方形ABCD，点P为BC上一动点，将AP绕P点顺时针旋转90°至PE，过E点作EF⊥BC垂足为F点．

（1）求证：BP=CF；
（2）求证：线段AE的中点一定在直线BD上；
（3）若P点在CB的延长线．试证明上述两结论是否成立，画图证明．

Answer 1

分析 （1）将AP绕P点顺时针旋转90°至PE，于是得到PA=PE，∠APE=90°，根据余角的性质得到∠APB=∠E，根据全等三角形的性质得到PB=EF，AB=PF，于是得到结论；
（2）如图1，连接AE，BD交于点G，连接PG，根据正方形的性质得到∠GBP=45°，由等腰直角三角形的性质得到∠GAP=45°，推出A，B，P，G四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（3）如图2，①由旋转的性质得到PA=PE，∠APE=90°，根据余角的性质得到∠APB=∠PEF，根据全等三角形的性质得到PB=EF，AB=PF，于是得到结论；②如图2，连接AE，BD交于点G，连接PG，推出A，B，P，G四点共圆，根据圆周角定理得到∠APG=∠ABG=45°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵将AP绕P点顺时针旋转90°至PE，
∴PA=PE，∠APE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°，
∴∠APB+∠EPF=∠EPF+∠E=90°，
∴∠APB=∠E，
在△ABP与△PFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F=90°}\\{∠APB=∠E}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PFE，
∴PB=EF，AB=PF，
∴BC=PB+CP=CF+CP=AB，
∴PB=CF；

（2）如图1，连接AE，BD交于点G，连接PG，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠GBP=45°，
由（1）知，△APE是等腰直角三角形，
∴∠GAP=45°，
∵∠GBP=∠GAP，
∴A，B，P，G四点共圆，
∴∠APG=∠ABG=45°，
∴∠APG=∠EPG，
∴AG=GE，
∴线段AE的中点一定在直线BD上；

（3）上述两结论成立；
如图2，①∵将AP绕P点顺时针旋转90°至PE，
∴PA=PE，∠APE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠APB=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠PFE=90°，
∴∠APB+∠EPF=∠EPF+∠PEF=90°，
∴∠APB=∠PEF，
在△ABP与△PFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PEF}\\{∠ABP=∠AFE=90°}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PFE，
∴PB=EF，AB=PF，
∴BC=BF+CF=BF+PB=AB，
∴PB=CF；
②如图2，连接AE，BD交于点G，连接PG，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠GBC=45°，
∴∠GBP=135°，
由（1）知，△APE是等腰直角三角形，
∴∠GAP=45°，
∴∠GAP+∠PBG=180°，
∴A，B，P，G四点共圆，
∴∠APG=∠ABG=45°，
∴∠APG=∠EPG，
∴AG=GE，
∴线段AE的中点一定在直线BD上．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．