Question

9．已知抛物线y=x²-k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是等腰直角三角形，则k的值是1．

Answer 1

分析 观察抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴交于点A，B，得k＞0，△ABP是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点A横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值．

解答 解：∵抛物线解析式为y=x²-k，
∴该抛物线的顶点（0，-k），
∵抛物线和x轴有两个交点，
∴4k＞0，
∴k＞0，
令y=0，得x=±$\sqrt{k}$，
又∵抛物线y=x²-k与x轴的两个交点以及顶点围成的三角形是等腰直角三角形，
∴$\sqrt{k}$=k．
解得 k=1，
故答案为1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．此题利用“等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”列出的等式．