【题目】【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
【答案】见解析
【解析】解:(1)证明:∵△ABC、△AMN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°。
∴∠BAM=∠CAN。
∵在△BAM和△CAN中,,
∴△BAM≌△CAN(SAS)。∴∠ABC=∠ACN。
(2)结论∠ABC=∠ACN仍成立。理由如下:
∵△ABC、△AMN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°。
∴∠BAM=∠CAN。
∵在△BAM和△CAN中,,
∴△BAM≌△CAN(SAS)。∴∠ABC=∠ACN。
(3)∠ABC=∠ACN。理由如下:
∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,∴底角∠BAC=∠MAN。
∴△ABC∽△AMN。∴。
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,∴∠BAM=∠CAN.
∴△BAM∽△CAN。∴∠ABC=∠ACN。
(1)利用SAS可证明△BAM≌△CAN,继而得出结论。
(2)也可以通过证明△BAM≌△CAN,得出结论,和(1)的思路完全一样。
(3)首先得出∠BAC=∠MAN,从而判定△ABC∽△AMN,得到,根据∠BAM=∠BAC﹣
∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,得到∠BAM=∠CAN,从而判定△BAM∽△CAN,得出结论。
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【题目】省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对
他们进行了六次测试,测试成绩如下表(单位:环):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 |
(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是 环,乙的平均成绩是 环;
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;
(3)根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适,请说明理由.
(计算方差的公式:s2=[])
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【题目】如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问m,n,l满足什么关系时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?
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【题目】如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,﹣4),则下列结论中错误的是( )
A. b2>4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则m>n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
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【题目】(12分)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
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【题目】如图,OA,OB是⊙O的两条半径,OA⊥OB,C是半径OB上的一动点,连接AC并延长交⊙O于D,过点D作直线交OB延长线于E,且DE=CE,已知OA=8.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)当∠A=30°时,求CD的长.
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【题目】如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具,其中,,两根木条的连接处是可以转动的,几名同学在一起讨论这个工具的用途.
(1)小明发现用这个工具可以快速作出角平分线在下面的几种用法中,能作出的平分线的有_______.(写出所有正确的序号)
①是的平分线; ②是的平分线; ③是的平分线
(2)对于这个工具的其它用途,小兰发现可以用它作线段的垂直平分线.
请结合图2补全结论并给出证明.
已知:如图2,,.
求证:________垂直平分__________.
(3)对于这个工具的其它用途,小红认为通过多次操作可以用它作平行线.你同意吗?如果同意,请画示意图说明如何操作;如果不同意,请说明理由.
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【题目】某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?
(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的大小;
(2)若CD=3,求DF的长.
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