Question

【题目】探究题
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF．请判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC与△EDB中， ，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

根据三角形的三边关系得：AB﹣AC＜AE＜AC+AB，

∴4＜AE＜16，

∵AE=2AD

∴2＜AD＜8，

即：BC边上的中线AD的取值范围2＜AD＜8；

（2）

解：BE+CF＞EF．

理由：如图②，

过点B作BG∥AC交FD的延长线于G，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD与△CFD中，

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥DF，

∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF．

【解析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．