Question

如图所示，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过圆心O作OG∥BD,交过点A所作⊙O的切线于点G，连结GD并延长与AB的延长线交于点E．

（1）求证：GD是⊙O的切线；

（2）试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD，如图，

∵AG是过点A的切线，AB是⊙O的直径，

∴AG⊥AB，  ∴∠GAB=90°．

∵OG∥BD，

∴∠AOG=∠OBD，∠DOG=∠ODB．

∵OC=OB，  ∴∠OBD=∠ODB．

∴∠AOG=∠DOG．

在△AOG和△DOG中，

∴△AOG≌△DOG，

∴∠ODG=∠GAB=90°，  即OD⊥DE

∵OD是⊙O的半径，

∴GD是⊙O的切线；                                  

（2）解：△DEF是等腰三角形.理由如下：

由（1）知，OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠ODC+∠EDF=90°，

∵OC=OD， ∴∠C=∠ODC，

∴∠EDF+∠C=90°，

而OC⊥OB，  ∴∠C+∠OFC=90°， ∴∠OFC=∠EDF，

∵∠DFE=∠OFC， ∴∠EDF=∠DFE，

∴DE=EF,   ∴△DEF是等腰三角形.                       ……7分

（3）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3， ∴OF=1，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD²+DE²=OE²，  ∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，

∵DE=EF,  ∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，  ∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°， 而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，  ∴ = ，即 = ，

∴AG=6．                                                ……11分