如图.在菱形ABCD中.两条对角线长是AC=10.BD=6.F是线段AO上一点.Q是线段OC上一点.且AP=CQ.分别将∠BAD和∠BCD折叠.使A.C两点都在对角线AC上.折痕分别是EH和FG.EH过P点.FG过Q点.连接EF.HG.再把折叠部分铺平．(1)四边形EFGH的形状是矩形,(2)设AP=x.四边形EFGH的面积为y,①求y与x的函数关系式及面积y的取值范围,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，在菱形ABCD中，两条对角线长是AC=10，BD=6，F是线段AO上一点（不与A、O重合），Q是线段OC上一点，且AP=CQ，分别将∠BAD和∠BCD折叠，使A、C两点都在对角线AC上，折痕分别是EH和FG，EH过P点，FG过Q点，连接EF、HG，再把折叠部分铺平．
（1）四边形EFGH的形状是矩形；
（2）设AP=x，四边形EFGH的面积为y；
①求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；
②当四边形EFGH是正方形时，求面积y的值．

分析（1）根据菱形的性质得到∠HAP=∠EAP=∠GCQ=∠FCQ，由折叠的性质得到AP⊥HE，CQ⊥GF，推出△APH≌△CQG，得到PH=GQ，同理PH=GQ=PE=FQ，证得四边形EFGH是平行四边形，得到HG∥EF，根据平行线的性质得到∠AHF=∠ADB，∠HAP=∠DHG，即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5，AC⊥BD，由折叠的性质得HE⊥BD，推出△AEH∽△ABD，得到$\frac{HE}{BD}=\frac{AP}{AO}$，求得HE=$\frac{6}{5}$x，根据矩形的面积公式得到y=HE•PQ=$\frac{6}{5}$x•（10-2x），于是得到结论；②根据正方形到现在列方程得到x=$\frac{25}{8}$，即可得到结果．

解答解：（1）四边形EFGH的形状是矩形；
∵在菱形ABCD中，
∴∠HAP=∠EAP=∠GCQ=∠FCQ，
由折叠的性质得：AP⊥HE，CQ⊥GF，
在△APH与△CQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAP=∠GCQ}\\{∠APH=∠CQG=90°}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△CQG，
∴PH=GQ，
同理PH=GQ=PE=FQ，
∴HE=GF，
∵HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠AHF=∠ADB，∠HAP=∠DHG，
∵∠HAP+∠AHP=90°，
∴∠AHP+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形；

（2）①∵在菱形ABCD中，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5，AC⊥BD，
由折叠的性质得HE⊥BD，
∴HE∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∴$\frac{HE}{BD}=\frac{AP}{AO}$，
∴$\frac{HE}{6}=\frac{x}{5}$，
∴HE=$\frac{6}{5}$x，
∵PQ=10-2x，
∴y=HE•PQ=$\frac{6}{5}$x•（10-2x），
即y=-$\frac{12}{5}$x²+12x，（0＜y≤15）；

②当四边形EFGH是正方形时，即HE=EF，
∴$\frac{6}{5}$x=10-2x，
解得：x=$\frac{25}{8}$，
∴y=-$\frac{12}{5}$x²+12x=$\frac{225}{16}$．

点评本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

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