Question

18．直角坐标系内有两点A（0，3）、B（2，-3），若P为x轴上一点，当△PAB为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 分三种情况：①当AB=AP，即AB²=AP²，求得x=±$\sqrt{31}$；②当AP=BP，即AP²=BP²，求得x=1，则P是AB的中点，不合题意舍去；③当AB=BP，即AB²=BP²，求得x=2$±2\sqrt{19}$；于是得到符合题意的点P有四个．

解答 解：∵A（0，3），B（2，-3），
∴AB²=40，
设P（x，0）．
∴AP²=9+x²，PB²=（x-2）²+9，
∵△PAB为等腰三角形，
∴分三种情况；
①当AB=AP，即AB²=AP²，
∴9+x²=40，解得：x=±$\sqrt{31}$，
②当AP=BP，即AP²=BP²，
∴9+x²=（x-2）²+9，
解得；x=1，则P是AB的中点，不合题意舍去；
③当AB=BP，即AB²=BP²，
∴40=（x-2）²+9，
解得：x=2$±2\sqrt{19}$，
∴点P的坐标为：（$\sqrt{31}$，0），（-$\sqrt{31}$，0），（2+2$\sqrt{19}$，0）（2-2$\sqrt{19}$，0）．

点评 本题考查了点的坐标的求法，综合运用了解直角三角形的知识，同时考查了根据特殊三角形的性质求三角形的顶点坐标的能力．