Question

7．抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A、B两点，（点B在点A的右侧）且A、B两点的坐标分为（-2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，使其对角线在坐标轴上，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试问抛物线上是否存在点N（不同于点C），使△OEN的面积等于△BOC的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得．
（2）由菱形的性质可知，EO=BO，要使得△OEN的面积等于△BOC的面积，只要△OEN的高等于OC即可，分两种情形计算即可①y=4时，②y=-4时．
（3）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-2，0），B（8，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a-8b-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；

（2）如图1中，

由菱形的性质可知，EO=BO，要使得△OEN的面积等于△BOC的面积，只要△OEN的高等于OC即可，
∵抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
∴C（0，-4）．
①当y=4时，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=4，解得x=3-$\sqrt{41}$或3+$\sqrt{41}$，
∴点N坐标为（3-$\sqrt{41}$，4）或（3+$\sqrt{41}$，4）．
②当y=-4时，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4，解得x=6或0，
∵N不同于C，
∴N（6，-4），
∴符合条件的点N坐标为（3-$\sqrt{41}$，4）或（3+$\sqrt{41}$，4）或（6，-4）．

（3）如图2中，

∵C（0，-4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4），点Q的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（ $\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=4-（-4）．
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．

点评 本题考查了二次函数综合性，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度，属于中考压轴题．