Question

阅读材料：（8分）

例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．

【解析】
，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3， 即原式的最小值为3．

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）

（2）代数式 的最小值.

 

Answer 1

（1）（2，3）或（2，－3）；（2）10．

【解析】

试题分析：（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；

（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．

试题解析：（1）∵原式化为的形式，

∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）或（2，－3）；

（2）∵原式化为的形式，

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，

如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，

∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，

∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，﹣7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=．故答案为：10．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．坐标与图形性质．