Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₂，0），且1＜x₂＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）下方，在下列结论中：①b＜0，②4a-2b+c=0，③2a-b+1＜0，④b＜a＜c．其中正确结论是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据已知画出图象，根据对称轴和开口方向可判断①；把x=-2代入得：4a-2b+c=0，可判断②；由②的结论，可得 2a-b=-$\frac{c}{2}$，根据c的取值范围可得2a-b的取值范围，可判断③；根据图象与x轴的交点可用x₂表示对称轴，易确定a，b的取值范围，可判断④．

解答 解：画出图象如图，
∵开口向下，
∴a＜0，
∵x=$-\frac{b}{2a}$＜0，
∴b＜0，
∴①正确；

根据二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₂，0），且1＜x₂＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，
把x=-2代入得：4a-2b+c=0，
∴②正确；

由4a-2b+c=0得 2a-b=-$\frac{c}{2}$，
而0＜c＜2，
∴-1＜-$\frac{c}{2}$＜0
∴-1＜2a-b＜0
∴2a-b+1＞0，
∴③错误；

∵图象与x轴两交点为（-2，0），（x₂，0），且1＜x₂＜2，
对称轴x=$\frac{-2{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{b}{2a}$，
则对称轴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，且a＜0，
∴-a＞-b
∴a＜b＜0，
由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，
即a＜b＜c，
∴④错误；
所以正确的选项为①②．
故选A．

点评 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键．