Question

1．给出如下规定：两个图形G₁和G₂，点P为G₁上任一点，点Q为G₂上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G₁和G₂之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为3，点C（-2，3）和射线OA之间的距离为$\sqrt{13}$；
（2）如果直线y=x+1和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，那么k=-4；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，$\sqrt{3}$），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=-2x-4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．

Answer 1

分析 （1）只需根据新定义即可解决问题；
（2）过点O作直线y=x+1的垂线，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，根据新定义可得直线y=-x和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的距离就是线段EF的长，如何只需求出点E的坐标，运用待定系数法就可求出k的值；
（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OH、OG，如图2，根据新定义可得图形M为x轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；
②设直线y=-2x-4与射线OH的交点为M，与射线OG的交点为N，先求得M、N的坐标，得出x的范围，如图2，图形N上点的坐标可设为（x，-2x-4），根据新定义可得图形W与图形N之间的距离为d=$\sqrt{{x}^{2}+（-2x-4）^{2}}$的最小值．利用二次函数的增减性求出d=$\sqrt{{x}^{2}+（-2x-4）^{2}}$的最小值，就可解决问题．

解答 解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（-2，3）和射线OA之间的距离为$\sqrt{（-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案分别为：3，$\sqrt{13}$；

（2）∵直线y=x+1和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y=$\frac{k}{x}$相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x+1的垂线y=-x，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即点F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则OF=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OE=OF+EF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2$\sqrt{2}$，
则有OG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=2，
∴点E的坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
故答案为：-4；

（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），
；
②由①知OH所在直线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，OG所在直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-4}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24+4\sqrt{3}}{11}}\\{y=\frac{8\sqrt{3}+4}{11}}\end{array}\right.$，即点M（-$\frac{24+4\sqrt{3}}{11}$，$\frac{4+8\sqrt{3}}{11}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-4}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24-4\sqrt{3}}{11}}\\{y=\frac{4-8\sqrt{3}}{11}}\end{array}\right.$，即点N（-$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$，$\frac{4-8\sqrt{3}}{11}$），
则-$\frac{24+4\sqrt{3}}{11}$≤x≤-$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$，
图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，-2x-4），
即图形W与图形N之间的距离为d，
d=$\sqrt{{x}^{2}+（-2x-4）^{2}}$
=$\sqrt{5{x}^{2}+16x+16}$
=$\sqrt{5（x+\frac{8}{5}）^{2}+\frac{8}{5}}$
∴当x=-$\frac{8}{5}$时，d的最小值为$\sqrt{\frac{8}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即图形W和图形N之间的距离$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题属于新定义型，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、抛物线的增减性、勾股定理、求直线与抛物线的交点等知识，解决本题的关键是对新定义的理解．