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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B(2,0)两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,8).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若将该抛物线向下平移m个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;

(3)已知点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+8;(2)3<m<9;(3)满足条件的点Q为(﹣2,0)或(﹣6,0)或(3+,0)或(3﹣,0).

【解析】试题分析:(1)把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组,从而可求得b、c的值,然后可得到抛物线的解析式;

(2)平移后抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+9﹣m,然后求得直线AC的解析式y=2x+8,当x=﹣1时,y=6,最后由抛物线的顶点在△ABC的内部可得到0<9﹣m<6,从而可求得m的取值范围;

(3)设点Q的坐标为(a,0),点P(x,y).分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况,依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值(用a的式子表示),然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值,从而可得到点Q的坐标.

试题解析:(1)把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得: ,解得:

∴y=﹣x2﹣2x+8.

(2)y=﹣x2﹣2x+8=﹣(x+1)2+9,

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+9﹣m.

∵抛物线的对称轴为x=﹣1,点B(2,0),

∴A(﹣4,0).

设直线AC的解析式为y=kx+8,将点A的坐标代入得:﹣4k+8=0,解得k=2,

∴直线AC解析式为y=2x+8.

当x=﹣1时,y=6.

∵抛物线的顶点落在△ABC的内部,

∴0<9﹣m<6.

∴3<m<9.

(3)设点Q的坐标为(a,0),点P(x,y).

①当AC为对角线时.

∵四边形APCQ为平行四边形,

∴AC与PQ互相平分.

依据中点坐标公式可知: =

∴x=﹣4﹣a,y=8.

∵点P在抛物线上,

∴﹣(a+4)2﹣2(﹣4﹣a)=0,解得:a=﹣2或a=﹣4(舍去)

∴点P的坐标为(﹣2,0).

②当CP为对角线时,

∵四边形APCQ为平行四边形,

∴CP与AQ互相平分.

依据中点坐标公式可知:

∴x=a+4,y=8.

∵点P在抛物线上,

∴﹣(a+4)2﹣2(a+4)=0,解得:a=﹣6或a=﹣4(舍去)

∴点P的坐标为(﹣6,0).

③AQ为对角线时.

∵四边形APCQ为平行四边形,

∴AQ与CP互相平分.

依据中点坐标公式可知:

∴x=﹣4+a,y=﹣8.

∵点P在抛物线上,

∴﹣(a﹣4)2﹣2(a﹣4)+16=0,整理得:a2﹣6a﹣8=0,解得:a=3+或a=3﹣

∴点Q的坐标为(3+,0)或(3﹣,0).

综上所述满足条件的点Q为(﹣2,0)或(﹣6,0)或(3+,0)或(3﹣,0).

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进球数(个)

8

7

6

5

4

3

人数

2

1

4

7

8

2

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(1)训练后篮球定时定点投篮人均进球数为   个;进球数的中位数为   个,众数为   个;

(2)该班共有多少学生;

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