【题目】如图,Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交弧AB于点C,连接BC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 .
(2)按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 5.62 | 4.67 | 3.76 | 2.65 | 3.18 | 4.37 | |
y2/cm | 5.62 | 5.59 | 5.53 | 5.42 | 5.19 | 4.73 | 4.11 |
(3)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并面出函数y1,y2的图象.
(4)结合函数图象,解决问题:当△APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
【答案】(1)0≤x≤6;(2)3;(3)详见解析;(4)3或4.91或5.77.
【解析】
(1)由AB=6可得0≤x≤6;
(2)PA=6时,通过表格可得AB=6,BC=4.37,AC=4.11,由勾股定理逆定理可得∠ACB=90°,所以AB是直径,当x=3时,PA=PB=PC=3;
(3)根据表格中的数据,描点连线画图即可;
(4)当PA=PC或PA=AC或PC=AC时,根据函数图像可得x即AP的长.
解:(1)∵AB=6cm,
∴自变量x的取值范围是0≤x≤6;
故答案为:0≤x≤6;
(2)∵PA=6时,AB=6,BC=4.37,AC=4.11,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°,
∴AB是直径.
当x=3时,PA=PB=PC=3,
∴y1=3,
故答案为3.
(3)函数图象如图所示:
(4)观察图象可知:当x=y,即当PA=PC或PA=AC时,x=3或4.91,
当y1=y2时,即PC=AC时,x=5.77,
综上所述,满足条件的x的值为3或4.91或5.77.
故答案为3或4.91或5.77.
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【题目】如图,以 为原点的直角坐标系中, 点的坐标为(0, 1),直线 交轴于点. 为线段上一动点,作直线,交直线于点. 过点作直线平行于轴,交轴于点 ,交直线于点.
(1)当点在第一象限时,求证:;
(2)当点在第一象限时,设长为,四边形的面积为,请求出与间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当点在线段上移动时,点也随之在直线上移动,是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使成为等腰直角三角形的点的坐标;如果不可能,请说明理由.
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【题目】已知 x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,取格点A、B、C并连接AB,BC.取格点D、E并连接,交AB于点F.
(Ⅰ)BF的长等于_____;
(Ⅱ)若点G在线段BC上,且满足AF+CG=FG,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,确定点G的位置,并简要说明点G的位置是如何找到的________________________________________(不要求证明).
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【题目】如图1,⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E,分别交AB、DC于点M、N.动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动.设运动的时间为x,圆心O与P点的距离为y,图2记录了一段时间里y与x的函数关系,在这段时间里P点的运动路径为( )
A. 从D点出发,沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B. 从B点出发,沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C. 从A点出发,沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D. 从C点出发,沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
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【题目】如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点和之间,对称轴是.有下列说法:①;②;③;④(为实数);⑤当时,.其中正确的是______(填写所有正确结论的序号).
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【题目】在矩形中,已知,在边上取点,使,连结,过点作,与边或其延长线交于点.
猜想:如图①,当点在边上时,线段与的大小关系为 .
探究:如图②,当点在边的延长线上时,与边交于点.判断线段与的大小关系,并加以证明.
应用:如图②,若利用探究得到的结论,求线段的长.
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【题目】目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利,初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查,随机调查了m人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中信息求出m= ,n= ;
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校2000名学生中,大约有多少人最认可“微信”这一新生事物?
(4)已知A、B两位同学都最认可“微信”,C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学,请你通过树状图或表格,求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.
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【题目】如图①,直线L:y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△COD,过点A,B,D的抛物线P叫做L的关联抛物线,而L叫做P的关联直线.
(1)若L:y=-x+2,则P表示的函数解析式为______;若P:,则表示的函数解析式为_______.
(2)如图②,若L:y=-3x+3,P的对称轴与CD相交于点E,点F在L上,点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时,求点Q的坐标;
(3)如图③,若L:y=mx+1,G为AB中点,H为CD中点,连接GH,M为GH中点,连接OM.若OM=,求出L,P表示的函数解析式.
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