Question

【题目】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．

（2）依已知条件和（1）中的结论：

①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；

②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①∠A+∠BCD＜180°，②∠A+∠BCD＞180°.

【解析】

（1）连接AC，BD，由同弧所对的圆周角相等与四边形的内角和为360°，即可证得∠A+∠BCD=180°；又由同角的补角相等，求得∠DCE=∠A；
（2）根据圆的内接四边形的对角互补与三角形的外角的性质，即可证得结论．

（1）证明：连结AC，BD，

∴∠CAD=∠CBD，∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，

∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，

∴∠CAD+∠BAC+∠ABD+∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠ADB+∠BDC=360°，

∴∠CAD+∠BAC+∠ACB+∠ACD=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°，

又∵∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠DCE=∠BAD.

（2）解：①设BC与⊙O交于点E，连结DE，

∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BED=180°，

又∵∠BED=∠CDE+∠BCD,

∴∠BED＞∠BCD，

∴∠A+∠BCD＜180°.

②延长DC交⊙O于点E，连结BE，

∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BED=180°，

又∵∠BCD=∠CBE+∠BED,

∴∠BCD＞∠BED，

∴∠A+∠BCD＞180°.