Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙O₁的直径OA在x轴上，O₁A=2，直线OB交⊙O₁于点B，∠BOA=30°，P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点。
（1）求点P的坐标；
（2）求证：PB是⊙O₁的切线

Answer 1

解：（1）如图，连接O1B，过点B作 BC⊥x轴于点C， ∵∠BOA=30°，半径O1A=2， ∴∠BO1C=60°，O1C=1，BC=， ∴点B坐标为（3，）， 设过O（0，0）、A（4，0） 两点抛物线解析式为y=ax（x-4）， ∵点B（3，）在抛物线上， ∴=a×3×（3-4） ∴a=-， ∴抛物线的解析式为y=-x2+x， ∴顶点P的坐标为（2，）； （2）设过P（2，）、B（3，）两点直线的的解析式为y=kx+b， 则，解得 ∴直线的的解析式为y=-x+2 令y=0，则x=6， ∴直线PB与x轴的交点坐标为D（6，0）， ∴OD=6，CD=3，O1D=3+1=4 ∵OB=2 ∴BD=2  ∴O1B2+BD2=22+（2）2=16=42=O1D2 ∴O1B2+BD2=O1D2 ∴O1B⊥BD  即PB是⊙O1的切线。