Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE＝．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC＝2AD时，c的值是_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

设A（2m，3m）、B（2n，3n），分点A在线段OB上及点B在线段OA上两种情况，由OC＝2AD，利用相似三角形的性质可得出m、n间的关系，将A、B点坐标代入抛物线与抛物线对称轴x＝2m联立方程组，解方程组即可求得c的值．

解：由tan∠AOE＝，可设A、B点坐标分别为（2m，3m）、（2n，3n），

∵AD∥OC，

∴∠ADB＝∠OCB，∠DAB＝∠COA，

∴△BAD∽△BOC．

①当点A在线段OB上时，如图1所示．

∵OC＝2AD，

∴D点为线段BC的中点，

∵C（0，c），B（2n，3n），

∴D点横坐标为＝n，

由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，

∴n＝2m，

∴B点坐标为（4m，6m），

∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x＝2m，

∴有，

解得：，或，

∵c＞0，

∴c＝；

②当点B在线段OA上时，如图2所示．

∵OC＝2AD，

∴OB＝2AB．

∵C（0，c），B（2n，3n），

∴D点横坐标为×2n＝3n，

由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，

∴n＝m，

∴B点坐标为（m，2m），

∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x＝2m，

∴有，

解得：，或．

∵c＞0，

∴c＝．

综上所述：c的值为或．

故答案为：或．