Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

4

3

x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒

5

3

个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）让y=0求得x的值可得A的坐标，（0，b）为B的坐标，让y=

b

2

可得交点的纵坐标，代入直线解析式可得交点的横坐标；
（2）由△AMN∽△ABO，得出△MPH的面积，再利用由△HPE∽△HFM，表示出△PEH的面积，即可得出答案．
（3）当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质得出即可．

解答：解：（1）A（-3，0），B（0，4）．（1分）
当y=2时，

4

3

x+4=2，x=-

3

2

．
所以直线AB与CD交点的坐标为(-

3

2

，2)．（2分）

（2）①当0＜t＜

3

2

时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．
过点M作MN⊥OA，垂足为N．
由△AMN∽△ABO，得

AN

AO

=

AM

AB

．
∵AO=3，BO=4，
∴AB=

32+42

=5，
∴

AN

3

=

5 3 t

5

．
∴AN=t．（4分）
∴△MPH的面积为

1

2

×2(3-t-t)=3-2t．
当3-2t=1时，t=1．（5分）
当

3

2

＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，
△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积．
过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F．
FM=AG-AH=AM×cos∠BAO-（AO-HO）=

5

3

t×

3

5

-(3-t)=2t-3．
HF=GM=AM×sin∠BAO=

5

3

t×

4

5

=

4

3

t．
由△HPE∽△HFM，得

PE

FM

=

HP

HF

．
∴

PE

2t-3

=

2

4 3 t

．
∴PE=

6t-9

2t

．（8分）
∴△PEH的面积为

1

2

×2×

6t-9

2t

=

6t-9

2t

．
当

6t-9

2t

=1时，t=

9

4

．
经检验，t=

9

4

是原方程的解，
综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或

9

4

．（9分）
②BP+PH+HQ有最小值．
连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．
∴BP=CH．
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2．
当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小．（11分）
∵点C，Q的坐标分别为（0，2），（-6，-4），
∴直线CQ的解析式为y=x+2，
∴点H的坐标为（-2，0）．因此点P的坐标为（-2，2）．（12分）

点评：此题主要考查了相似三角形的应用以及平行四边形的性质，利用数形结合进行分类讨论是解决问题的关键，分析时注意不要漏解．