Question

10．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连接AD₁、BC₁．
（1）求证：△A₁AD₁≌△CC₁B；
（2）若∠ACB=30°，BC=2时，试问的当△ACD沿CA方向平移多远距离时（C₁在线段AC上），四边形ABC₁D₁是菱形？（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，从而证出结论；
（2）根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁
在△A₁AD₁和△CC₁B中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS）．

（2）解：∵∠CAB=60°，
又∵四边形ABC₁D₁是菱形，
∴∠BC₁A=60°，
∴△ABC₁是等边三角形，
∴AC₁=BC₁，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠C₁BC=∠ACB=30°，
∴BC₁=CC₁=AC₁，即C₁为AC的中点，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AC=$\frac{BC}{cos60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴CC₁=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴当△ACD沿CA方向平移$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$时（C₁在线段AC上），四边形ABC₁D₁是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形、菱形的性质以及平移的性质，以及锐角三角函数，掌握知识之间的联系，灵活运用已知条件解决问题．