Question

6．如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；
②正方形ABCD的面积；
（2）设AQ=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？

Answer 1

分析 （1）①根据直角三角形的面积公式即可得出结果；
②由题意得出S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ，即可得出结果；
（2）显然根据面积能够验证勾股定理以及完全平方公式．

解答 解：（1）①∵网格中每个小正方形的边长为1，
由图可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°．
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}$AQ•BQ=6；同理S_△BCM=S_△CDN=S_△ADP=6．
②∵MQ=7，
∴S_{正方形MNPQ}=7²=49．
∴S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ=49-4×6=25．
（2）验证勾股定理或完全平方公式．
验证：在△BCM和△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=AQ}&{\;}\\{∠M=∠Q}&{\;}\\{CM=BQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ABQ（SAS），
同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵MB=a，BQ=b，S_{正方形MNPQ}=S_{正方形ABCD}+4S_△ABQ
∴（a+b）²=a²+b²+4×$\frac{1}{2}$ab
即（a+b）²=a²+2ab+b²（完全平方公式）
或又∵S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ
∴AB²=（a+b）²-4×$\frac{1}{2}$ab，即AB²=a²+b²．
设AB=c，得c²=a²+b²（勾股定理）．

点评 本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及面积的计算、三角形面积的计算、完全平方公式；掌握正方形和三角形面积的计算方法是解决问题的关键．