Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上．连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
（1）求证：；
（2）求证：MN²=DM•EN；
（3）若AB=AC=2，求MN的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，
∴DE∥BF，
∴△ADM∽△ABG，
∴=，
同理：=，
∴=．

（2）证明：∵由（1）可知：=，同理也可以得到=，
∴=，=，
∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC=90°，
∴△BGD∽△EFC，
∴=，
∵DG，GF，EF是同一个正方形的边长，
∴DG=GF=EF，
∴=，

∴=，
∴MN ²=DM•EN．

（3）解：∵AC=AB=2，∠CAB=90°，
∴由勾股定理得：BC=2，
∵∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，
∴BG=DG=GF=EF=FC=，
∵由（1）（2）可得：==，
∴DM=MN=EN=，
答：MN的长是．
分析：（1）根据平行线推出△ADM∽△ABG，推出=，同理得出=，即可得出答案；
（2）推出=，=，求出∠B=∠CEF，和∠BGD=∠EFC=90°，推出△BGD∽△EFC，得出=，根据DG=GF=EF推出=即可；
（3）由勾股定理求出BC=2，根据∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，求出BG=DG=GF=EF=FC=，即可求出DM=MN=EN，即可求出答案．
点评：本题综合考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，能熟练地运用相似三角形的性质和判定进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．