Question

17．解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（{x}^{2}+3x）（x+y）=40}\\{{x}^{2}+4x+y=14}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 把原方程②进行变形，化为（x²+3x）+（x+y）=14，令x²+3x=a，x+y=b，根据题意得到一元二次方程，求出a、b，构造方程组求解即可．

解答 解：原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l}{（{x}^{2}+3x）（x+y）=40}\\{（{x}^{2}+3x）+（x+y）=14}\end{array}\right.$，
令x²+3x=a，x+y=b，则ab=40，a+b=14，
∴a、b是方程t²-14t+40=0的两个根，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=10}\end{array}\right.$，
于是$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x=10}\\{x+y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x=4}\\{x+y=10}\end{array}\right.$，
分别求解，得原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=9}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=1}\\{{y}_{3}=9}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-4}\\{{y}_{4}=14}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的是高次方程的解法，把原方程组进行正确的变形是解题的关键，解高次方程时，要灵活运用换元法，使方程降次，然后再解．