Question

9．如图，在直角坐标系中，直线y=-x+k经过抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（-1，5）和另一点B（8，-4）．
（1）求抛物线的解析式和k的值；
（2）动点P是直线AB上方抛物线上一点（不与A，B重合），过点P作PD⊥AB于D，作PC⊥x轴于C，交直线AB与E．
①设△PDE的周长为L，点P的横坐标为x，求L与x之间的函数关系式；
②问是否存在一点P，使得以E为圆心，PD为半径的圆与两坐标轴相切？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式假设出二次函数解析式进而得出a，k的值；
（2）①得出Rt△PDE∽Rt△GOK，进而利用相似三角形的性质得出L与x之间的函数关系式；
②设点P坐标为（x，y），若存在，则点P在第一象限的角平分线上，则有x=y，进而得出x的值即可得出P点坐标．

解答 解：（1）依题意可设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+5，
∴-4=a（8+1）²+5．
∴a=-$\frac{1}{9}$，
∴抛物线y=-$\frac{1}{9}$（x+1）²+5．
即y=-$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{9}$x+$\frac{44}{9}$．
∵直线y=-x+k过点A（-1，5），
则5=1+k
解得：k=4；
  
（2）①设直线解析式为y=-x+k与坐标轴交于G，K两点，
则G（0，4），K（4，0）．
∴∠GKO=45°，GK=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴Rt△ECK中，EC=CK=4-x．
∴PE=PC-EC=y-x．
由题意，知Rt△PDE∽Rt△GOK，
∴$\frac{PE}{GK}$=$\frac{L}{8+4\sqrt{2}}$，
∴$\frac{y-x}{4\sqrt{2}}$=$\frac{L}{8+4\sqrt{2}}$，
∴L=$\frac{（y-x）（8+4\sqrt{2}）}{4\sqrt{2}}$
=（y-x）（$\sqrt{2}+$1），
=-$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{9}$x+$\frac{44}{9}$-x）（$\sqrt{2}+1$），
=-$\frac{\sqrt{2}-1}{9}$x²-$\frac{11（\sqrt{2}+1）}{9}$x+$\frac{44}{9}$（$\sqrt{2}+1$），

②存在．
设点P坐标为（x，y），若存在，则点P在第一象限的角平分线上，则有x=y，
∴x=-$\frac{1}{9}$（x+1）²+5，
解得：x=$\frac{-11±\sqrt{121+176}}{2}$=$\frac{-11±\sqrt{297}}{2}$，
∵P在第一象限，
∴x=$\frac{-11+\sqrt{297}}{2}$，
∴P为（$\frac{-11+\sqrt{297}}{2}$，$\frac{-11+\sqrt{297}}{2}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用顶点式求二次函数、一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质综合性较强，正确利用相似三角形的判定与性质是解题关键．