Question

14．已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C． 
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（2，0）两点代入抛物线y=ax²+x+c（a≠0）求出a，c的值，再求出其顶点坐标即可；
（2）作EN∥BC，交y轴于N，过C作CM⊥EN于M，令x=0求出y的值，故可得出∠OCB=45°．根据EN∥BC可知∠CNM=∠OCB=45°．由CM⊥EN于M得出∠CNM=∠CMN=45°．MN=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CN=1．故可得出直线NE的解析式，进而可得出E点坐标；
（3）过E作EF⊥AB于F，根据E（1，2）可知tan∠EOF=2，再由tan∠α=2得出∠EOF=∠α，利用等量代换得出∠EPO=∠AEO，故可得出△AEP∽△AOE，根据勾股定理得出AE的长，根据AP=8，OP=7可知P（7，0），由对称性可得P'的坐标，进而可得出结论．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（2，0）分别代入y=ax²+x+c得，$\left\{\begin{array}{l}a-1+c=0\\ 4a+2+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=2\end{array}\right.$，
所以二次函数解析式为y=-x²+x+2；
（2）设E（x，-x²+x+2），
作EH⊥BC于H，EF⊥x轴于F，交BC于D，如图1，
当x=0时，y=-x²+x+2=2，则C（0，2），
∵OB=OC=2，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠FBD=45°，
∴∠EDH=∠BDF=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ED，
易得直线BC的解析式为y=-x+2，则D（x，-x+2），
∴ED=-x²+x+2-（-x+2）=-x²+2x，
∴EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-x²+2x）
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当x=1时，EH有最大值，
此时E点坐标为（1，2）；

（3）（3）如图2，过E作EF⊥AB于F，
∵E（1，2），
∴tan∠EOF=2，
又∵tan∠α=2，
∴∠EOF=∠α，
∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，
∠EAO+∠EPO=∠α，
∴∠EPO=∠AEO，
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AEP∽△AOE，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AE}{AO}$，
∵AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AO=1，
∴AP=8，
∴OP=7，
∴P（7，0），
由对称性可得，P'（-5，0），
∴P（7，0）或（-5，0）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、锐角三角函数的定义及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大．