Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴相交于点C（0，-4）．
（1）求该二次函数的解析；
（2）若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A，B，C点坐标代入函数y=ax²+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式．
（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
C（0，-4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4．

（2）①存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，

∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴$\frac{QD}{OC}$=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{QD}{4}$=$\frac{AD}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴QD=$\frac{16}{5}$，AD=$\frac{12}{5}$．
Ⅰ、作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=|$\frac{12}{5}$-x|，
∴在Rt△EDQ中，（$\frac{12}{5}$-x）²+（$\frac{16}{5}$）²=x²，解得 x=$\frac{10}{3}$，
∴OA-AE=3-$\frac{10}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
∴E（-$\frac{1}{3}$，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
Ⅱ、以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
∴OA-AE=3-$\frac{24}{5}$=-$\frac{9}{5}$，
∴E（-$\frac{9}{5}$，0）．
Ⅲ、当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-$\frac{1}{3}$，0）或（-$\frac{9}{5}$，0）或（-1，0）或（7，0）．

②如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴$\frac{AF}{AO}$=$\frac{FQ}{OC}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{AF}{3}=\frac{FQ}{4}=\frac{t}{5}$，
∴AF=$\frac{3}{5}$，FQ=$\frac{4}{5}$，
∴Q（3-$\frac{3}{5}$t，$\frac{4}{5}$），
∵DQ=AP=t，
∴D（3-$\frac{3}{5}$t，-$\frac{4}{5}$t），
∵D在二次函数y═$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4上，
∴-$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{3}$（3-$\frac{8}{5}$t）²-$\frac{8}{3}$（3-$\frac{8}{5}$t）-4，
∴t=$\frac{145}{64}$，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（-$\frac{5}{8}$，-$\frac{29}{16}$）．

点评 本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．