Question

15．已知抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-2、0）、C（$\frac{3}{2}$，0），与y轴交于点B．动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交于y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=$\frac{1}{2}$AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax²+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解析式．
（2）BQ=$\frac{1}{2}$AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=$\frac{1}{2}$AP可求t值．
（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（$\frac{3}{2}$，0）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2-t，AP=2+t．

∵BQ=$\frac{1}{2}$AP，
∴2-t=$\frac{1}{2}$（2+t），
∴t=$\frac{2}{3}$．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t-2，AP=2+t．

∵BQ=$\frac{1}{2}$AP，
∴t-2=$\frac{1}{2}$（2+t），
∴t=6．
综上所述，t=$\frac{2}{3}$或6时，BQ=$\frac{1}{2}$AP．

（3）当t=$\sqrt{3}$-1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3$\sqrt{3}$时，抛物线上存在点M（-3，-3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQO=∠BPO}\\{∠AOQ=∠BOP=90°}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，设M（x，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M点可能为（1，1）或（-3，-3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，

则有PD=|1-t|，MP²=1+|1-t|²=t²-2t+2，PQ²=2t²，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t²+2t-2=0，
∴t=-1+$\sqrt{3}$，t=-1-$\sqrt{3}$（负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（-3，-3）时，作ME⊥x轴于E，

则有PE=3+t，ME=3，
∴MP²=3²+（3+t）²=t²+6t+18，PQ²=2t²，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t²-6t-18=0，
∴t=3+3$\sqrt{3}$，t=3-3$\sqrt{3}$（负值舍去）．
综上所述，当t=-1+$\sqrt{3}$时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3$\sqrt{3}$时，抛物线上存在点M（-3，-3），使得△MPQ为等边三角形．

点评 本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．