Question

7．二次函数y=x²+9x+14中，若y＞0且y随x增大而增大，则x的取值范围是x＞-2．

Answer 1

分析 先根据抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标为（-7，0），（-2，0），于是利用抛物线开口向上可得当x＜-7或x＞-2时，y＞0，再根据二次函数的性质得到x＞-$\frac{9}{2}$时，y随x增大而增大，然后确定满足两个条件的x的取值范围即可．

解答 解：当y=0时，x²+9x+14=0，解得x₁=-7，x₂=-2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（-7，0），（-2，0），则当x＜-7或x＞-2时，y＞0，
又因为抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{9}{2}$，则x＞-$\frac{9}{2}$时，y随x增大而增大，
所以y＞0且y随x增大而增大，则x的取值范围是x＞-2．
故答案为x＞-2．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x=-$\frac{b}{2a}$，y取得最大值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最高点．