Question

【题目】如图，Rt△ABO的直角边OB在x轴上，OB＝2，AB＝1，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点．

（1）求点A，C的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣2，1)，C(1，2)；（2）y＝--x+；（3）(4，﹣12)或(﹣1，3)

【解析】

（1）根据线段OB、AB的长度易得点A的坐标，根据旋转的性质求得C点的坐标；

（2）根据待定系数法即可求得；

（3）由直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分且OA＝OC，知AQ＝CQ，即点Q为AC的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，联立方程可得点P坐标．

解：（1）∵OB＝2，AB＝1，

∴A（﹣2，1），

将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，

∴C（1，2），

（2）∵抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点，

∴，解得

∴二次函数的解析式为y＝﹣﹣x+；

（3）设OP与AC交于点Q，

∵OP将△AOC的周长分成相等的两部分，又OA＝OC，OQ＝OQ，

∴AQ＝CQ，即Q为AC的中点，

∴Q（﹣，）．

设直线OP的解析式为y＝kx，把Q（﹣，）代入y＝kx，得＝﹣k，

∴k＝﹣3．

∴直线OP的解析式为y＝﹣3x．

由，得，，

∴P1（4，﹣12），P2（﹣1，3）．