Question

【题目】如图，已知等腰△ABC，∠ACB=120°，P是线段CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得∠PAC=∠QAC，过点Q作射线QH交线段AP于H，交AB于点M，使得∠AHQ=60°．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）∠AMQ=30°+α；（2）BMCQ，证明见解析．

【解析】

（1）根据等腰△ABC，∠ACB=120，得到∠B=∠CAB=30°，由∠ACQ=60°．

∠AHQ=60°，可得∠AGH=∠QGC，则有∠MQB=∠PAC=α，利用三角形的外角的性质，可知∠AMQ=30°+α；

（2）过点M作ME∥AC，交BQ于点E，根据∠PAC=∠QAC=α，∠QAM=∠QMA=30°+α，可得QA=QM，∠ACQ=∠MEQ=60，利用AAS可证△QAC≌△MQE，可以得出EM=EB，设EN=x，则BE=EM=2x，BNx，可得BM=2x，CQ=EM=2x，可求出 BMCQ．

（1）如图

∠ACB=120°，AC=BC，

∴∠B=∠CAB=30°，∠ACQ=60°．

∵∠AHQ=60°．

∵∠AGH=∠QGC，∴∠MQB=∠PAC=α

∠AMQ=∠B+∠MQB=30°+α；

（2）如图，

过点M作ME∥AC，交BQ于点E，

∵∠PAC=∠QAC=α，

∴∠QAM=∠QMA=30°+α，

∴QA=QM

∴∠ACQ=∠MEQ=60°，∠QAC=∠MQE，

∴△QAC≌△MQE（AAS），∴CQ=EM

∵∠B=30°，∴∠EMB=30°，∴EM=EB，

作EN⊥BM于点N，

设EN=x，则BE=EM=2x，BNx，∴BM=2x，

CQ=EM=2x，∴BMCQ．