【题目】如图，四边形ABCD中，∠C=90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A=30°，DC
，求EC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
（1）直接利用直角三角形的性质得出DE=BE
AB，再利用DE∥BC，得出∠2=∠3，进而得出答案；
（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3=60°，DC=2
，得出DB的长，进而得出EC的长．
（1）∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴DE=BEAB，
∴∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BD平分∠ABC．
（2）∵AD⊥DB，∠A=30°，
∴∠1=60°，
∴∠3=∠2=60°．
∵∠BCD=90°，
∴∠4=30°，
∴∠CDE=∠2+∠4=90°．
在Rt△BCD中，∠3=60°，DC=2，
∴DB=4．
∵DE=BE，∠1=60°，
∴DE=DB=4，
∴EC
2
．
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【题目】如图，在△ABC中，∠C=50°，圆O是△ABC的外接圆，AE为圆O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD．则∠EAC=_______．
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【题目】如图，⊙O的半径为4，A、B、C均是⊙O的点，点D是∠BAC的平分线与⊙O的交点，若∠BAC=120°，则弦BD的长为 _____________ ．
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【题目】骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温（
）与时间（小时）之间的关系如图1所示．
小清同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量有可能表示的是（ ）．
A.骆驼在
时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）
B.骆驼从0时到时刻之间的最高体温与当日最低体温的差
C.骆驼在时刻的体温与当日平均体温的绝对差
D.骆驼从0时到时刻之间的体温最大值与最小值的差
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【题目】在平面直角坐标系
中，点
到封闭图形
的“极化距离”
定义如下：任取图形上一点
，记
长度的最大值为
，最小值为
（若与重合，则
），则“极化距离”
．
（1）如图1，正方形
以原点
为中心，点
的坐标为
，
①点到线段
的“极化距离”
_______；
点
到线段的“极化距离”
_________；
②记正方形为图形，点在
轴上，且
，求点的坐标；
（2）如图2，图形为圆心
在
轴上，半径为
的圆，直线
与轴，轴分别交于
，
两点，若线段
上的任一点都满足
，直接写出圆心的横坐标
的取值范围．
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【题目】如图，已知等腰△ABC，∠ACB=120°，P是线段CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得∠PAC=∠QAC，过点Q作射线QH交线段AP于H，交AB于点M，使得∠AHQ=60°．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明．
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【题目】已知，抛物线
，直线
．
(1)当
时，求抛物线与
轴交点的坐标；
(2)直线是否可能经过抛物线的顶点，如果可能，请求出
的值，如果不可能，请说明理由；
(3)记
，当
时，求
的最大值．
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【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件： ．
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【题目】（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；
（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．
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