Question

【题目】如图，⊙O的半径为4，A、B、C均是⊙O的点，点D是∠BAC的平分线与⊙O的交点，若∠BAC=120°，则弦BD的长为 _____________ ．

Answer 1

【答案】4

【解析】

连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，利用角平分线定义得∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°，则根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=60°，于是可判断△BCD为等边三角形，所以BD=BC，∠BDC=60°；再利用∠ABD=∠CAD得到弧DC=弧DB，根据垂径定理的推论得到DH⊥BC，BH=CH，接着根据圆周角定理计算出∠BOH=60°，然后在Rt△BOH中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH=2，则BC=2BH=4，即BD=．

解：连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，如图，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=BC，∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠CAD，
∴弧DC=弧DB，
∴DH⊥BC，
∴BH=CH，∠BOH=∠BOC，
而∠BOC=2∠BDC=120°，
∴∠BOH=60°，
在Rt△BOH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=OB=2，
∴BH=OH=，
∴BC=2BH=，
∴BD=．
故答案为：．