Question

如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,二次函数的最值,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x²+y²=z²，和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解题．

解答：解：延长CB至L，使BL=DN，
则Rt△ABL≌Rt△ADN，
故AL=AN，
∵CM+CN+MN=2，CN+DN+CM+BM=1+1=2，
∴MN=DN+BM=BL+BM=ML，
∴△AMN≌△AML（SSS），
设CM=x，CN=y，MN=z
x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，
则x=2-y-z
∴（2-y-z）²+y²=z²，
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0，
即（z+2-2

2

）（z+2+2

2

）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2

2

-2
此时S_△AMN=S_△AML=

1

2

ML•AB=

1

2

z
因此，当z=2

2

-2，S_△AMN取到最小值为

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键．