Question

16．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．

（1）填空：∠OBC+∠ODC=180°；
（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
（3）如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用垂直定义得到∠MON=90°，然后利用四边形内角和求解；
（2）延长DE交BF于H，如图，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根据等角的补角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，则∠CDE=∠FBE，然后根据三角形内角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF；
（3）作CQ∥BF，如图2，由于∠OBC+∠ODC=180°，则∠CBM+∠NDC=180°，再利用BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，则∠GDC+∠FBC=90°，根据平行线的性质，由CQ∥BF得∠FBC=∠BCQ，加上∠BCQ+∠DCQ=90°，则∠DCQ=∠GDC，于是可判断CQ∥GD，所以BF∥DG．

解答 （1）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°-90°-90°=180°；
故答案为180°；
（2）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
（3）解：DG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，
∵CQ∥BF，
∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．

点评 本题考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．也考查了平行线的判定与性质．