Question

6．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点C在线段AB上从点A向点B运动，与点B重合时停止运动．以OC为边向左侧作正方形OEDC，则动点D的运动路径长为8$\sqrt{2}$，在点C运动的过程中，正方形OEDC的边与⊙O没有公共点时，AC长的取值范围是4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜AC＜4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．．

Answer 1

分析 如图1中，点D运动的轨迹是线段D₁D₂，分别在RtODD₁和Rt△ODD₂中，求出DD₁，DD₂即可．如图2中，作OM⊥AB于M，分别求出AC₁，AC₂即可解决问题．

解答 解：如图1中，点D运动的轨迹是线段D₁D₂．

当点D在线段AB上时，∵OC⊥AB，
∴AC=CB=4，
在Rt△AOC中，∵∠OCA=90°，OA=5，AC=4，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OD=$\sqrt{2}$OC=3$\sqrt{2}$，
当点C₁与B重合时，OD₁=$\sqrt{2}$OB=5$\sqrt{2}$，
DD₁=$\sqrt{O{{D}_{1}}^{2}-O{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
当点C₂与A重合时，可得DD₂=4$\sqrt{2}$，
∴动点D的运动路径长为8$\sqrt{2}$．
如图2中，作OM⊥AB于M，由（1）可知OM=3，

当D₁在⊙O₁上时，∵△OD₁C₁是等腰直角三角形，OD₁=5，
∴OC₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OMC₁中，C₁M=$\sqrt{O{{C}_{1}}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴AC₁=4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
当D₂在⊙O上时，同法可得MC₂=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴AC₂=4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴正方形OEDC的边与⊙O没有公共点时，AC长的取值范围是4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜AC＜4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
故答案分别为8$\sqrt{2}$，4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜AC＜4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查轨迹、正方形的性质、勾股定理、圆的有关知识．解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会取特殊点探究问题，属于中考常考题型．