Question

17．已知二次函数y=（m²-2）x²-4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若将此抛物线平移，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S_△ABM=8，求此时的二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）据函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上，可求得y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，3）．从而求得m=-1或m=2，利用最高点在直线上可得a＜0，所以m=-1，n=-1，从而求得二次函数的表达式．
（2）首先假设顶点在直线y=x+1上移动到点M，设M（h，h+1），利用抛物线的开口方向不变，a=-1，得出二次函数的顶点式，再整理为一般形式，利用抛物线与x轴交点距离公式AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$求出h的值，进而得出二次函数的解析式即可．

解答 解：（1）二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上
∴y=2+1=3，
∴y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，3），
∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-4m}{2（{m}^{2}-2）}$=2，
解得m=-1或m=2，
∵最高点在直线上，
∴a＜0，
∴m=-1，
∴y=-x²+4x+n顶点为（2，3），
∴3=-4+8+n，
∴n=-1
则二次函数的表达式为y=-x²+4x-1．
（2）因为顶点在直线y=x+1上移动到点M，设M（h，h+1），
因为抛物线的开口方向不变，a=-1，
设y=-（x-h）²+h+1，
则y=-x²+2hx-h²+h+1，
AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$=$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=$\sqrt{4h+4}$=2$\sqrt{t+1}$
S_△ABM=8，
所以：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{t+1}$×（h+1）=8，
设$\sqrt{h+1}$=t，$\frac{1}{2}$×2t×t²=8，
则t³=8，
故t=2，即h=3，代入y=-（x-h）²+h+1得，y=-（x-3）²+4，
故此时解析式为：y=-x²+6x-5．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的性质，根据抛物线的平移不改变a的值以及抛物线与x轴交点距离公式AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$求出是解题关键．