【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+
x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.点P是线段BC上的动点(点P不与B,C重合),连接并延长AP交抛物线于另一点Q,设点Q的横坐标为x.
(1)①写出点A,B,C的坐标:A(),B(),C();
②求证:△ABC是直角三角形;
(2)记△BCQ的面积为S,求S关于x的函数表达式;
(3)在点P的运动过程中, 是否存在最大值?若存在,求出
的最大值及点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)﹣1,0;4,0;0,2
(2)
解:连接OQ,如图1所示.
设点Q的坐标为(x,﹣ x2+
x+2),
∴S=S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC= ×2x+
×4(﹣
x2+
x+2)﹣
×2×4=﹣x2+4x.
(3)
解:过点Q作QH⊥BC于H,如图2所示.
∵∠ACP=∠QHP=90°,∠APC=∠QPH,
∴△APC∽△QPH,
∴ =
.
∵S△BCQ= BCQH=
OH,
∴QH= ,
∴ =
=
(﹣x2+4x)=﹣
(x﹣2)2+
,
∴当x=2时, 取最大值,最大值为
,此时点Q的坐标为(2,3).
【解析】解:(1)①当x=0时,y=﹣ x2+
x+2=2,
∴点C(0,2).
当y=﹣ x2+ img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2017/08/15/11/610d3a99/SYS201708151152513446683969_DA/SYS201708151152513446683969_DA.003.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> x+2=0时,有x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4)=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴A(﹣1,0),B(4,0).
所以答案是:﹣1,0;4,0;0,2.
②证明:∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),
∴AB=5,AC= ,BC=2
,
∴AB2=25=AC2+BC2 ,
∴△ABC是直角三角形.
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【题目】如图1,已知直线y=kx与抛物线y= 交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图:在长度为1个单位的小正方形组成的网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′;
(2)△ABC的面积为________;
(3)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短,则这个最短长度为________个单位长度.(在图形中标出点P)
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【题目】一辆汽车在公路上匀速行驶,下表记录的是汽车在加满油后油箱内余油量y(升)与行驶时间x(时)之间的关系:
行驶时间x(时) | 0 | 1 | 2 | 2.5 |
余油量y(升) | 100 | 80 | 60 | 50 |
(1)小明分析上表中所给的数据发现x,y成一次函数关系,试求出它们之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)求汽车行驶4.2小时后,油箱内余油多少升?
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【题目】如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,连接DE,作EF⊥DE,交直线AB于点F.
(1)若点F与B重合,求CE的长;
(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.
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【题目】若10m=5,10n=3,则102m+3n= .
【答案】675.
【解析】102m+3n=102m103n=(10m)2(10n)3=5233=675,
故答案为:675.
点睛:此题考查了幂的乘方与积的乘方, 同底数幂的乘法. 首先根据同底数幂的乘法法则,可得102m+3n=102m×103n,然后根据幂的乘方的运算方法,可得102m×103n=(10m)2×(10n)3,最后把10m=5,10n=2代入化简后的算式,求出102m+3n的值是多少即可.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】A、B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.已知甲车的速度为100千米/时,乙车的速度为80千米/时,___________小时后两车相距30千米.
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【题目】如图,图1是由5个完全相同的正方体搭成的几何体,现将标有E的正方体平移至图2所示的位置,下列说法中正确的是( )
①左、右两个几何体的主视图相同
②左、右两个几何体的俯视图相同
③左、右两个几何体的左视图相同.
A.①②③
B.②③
C.①②
D.①③
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