Question

【题目】如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．

（1）求证：GF=BF；

（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；

（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FOED=ODEF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AG=；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；

（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可；

（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到，由于BM＝BE，得到GF＝FH，由GF∥AD，得到，等量代换得到，即，于是得到结论．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，

∵GF∥BE，

∴GF∥BC，

∴GF∥AD，

∴，

∵AB∥CD，

，

∵AD=CD，

∴GF=BF；

（2）∵EB=1，BC=4，

∴=4，AE=，

∴=4，

∴AG=；

（3）延长GF交AM于H，

∵GF∥BC，

∴FH∥BC，

∴，

∴，

∵BM=BE，

∴GF=FH，

∵GF∥AD，

∴，，

∴，

∴，

∴FOED=ODEF．