Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APN∽△ABC；
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则宽是多少mm？

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：

分析：（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PN，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．

解答：解：（1）∵四边形PNQM为矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC；

（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根据平行线的性质可以得出：

PQ

AD

=

BP

AB

、

PN

BC

=

AP

AB

，
①PQ为长，PN为宽：
由题意知PQ=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm，
即

2x

80

=

BP

AB

，

x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

2x

80

+

x

120

=1，
解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PQ为宽，PN为长：
由题意知PQ=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，
即

x

80

=

BP

AB

，

2x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

x

80

+

2x

120

=1，
解得x=

240

7

，2x=

480

7

．
即长为

480

7

mm，宽为

240

7

mm．
答：矩形的长为60mm，宽是30mm或者长为

480

7

mm，宽为

240

7

mm．

点评：本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．