Question

如图，△ABC中，AB=AC（∠BAC＜60°），将腰AB绕点A逆时针旋转60°，得线段AD，连接BD、CD，将底BC绕点B逆时针旋转60°，得线段BE，连接AE．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠BCD的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证△ABD是等边三角形和△BCE是等边三角形，即可证明∠ABE=∠CBD，即可证明△ABE≌△DBC；
（2）延长AE交BC于点G，连接CE，易证∠ABE=∠ACE，即可证明△ABE≌△ACE，可得∠BAE=∠CAE，即可证明AG垂直平分BC，根据等边三角形三线合一性质即可解题．

解答：（1）证明：∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，AB=BD，
∵BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC=60°，BE=BC，
∵∠ABE+∠EBD=60°，∠EBD+∠CBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD ∠ABE=∠CBD BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）延长AE交BC于点G，连接CE，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ACE，
在△ABE和△ACE中，

AB=AC ∠ABE=∠ACE EB=EC

，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∴∠BAE=∠CAE，
∴AG是∠BAC角平分线，
∴AG垂直平分BC，
∴EG是∠BEC角平分线，
∴∠AEB=180°-∠BEG=150°，
∴∠BCD=150°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△DBC和△ABE≌△ACE是解题的关键．