Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连结OD，如图，根据等腰三角形的性质，由BA=BC得∠A=∠C，由OA=OD得∠A=∠ODA，则∠ODA=∠C，于是根据平行线的判定得到OD∥BC，加上DF⊥BC，所以DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答：证明：连结OD，如图，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．