Question

17．如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN=5cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）若∠APB=α，求∠MPN（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，可得MW与OM的关系，OF与FN的关系，根据三角形的周长公式，可得答案；
（2）根据轴对称的性质，可得PM与PO的关系，PO与PN的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，可得∠MPA与∠APO的关系，∠OPB与∠BPN的关系，根据角的和查，可得答案．

解答 解：（1）由点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，得
ME=EO，FN=FO．
由三角形的周长，得
C_△OEF=OE+EF+OF=ME+EF+FN=MN=5cm；
（2）如图：，
由点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，得
PM=PO，PO=PN，
PM=PN，
△PMN是等腰三角形；
（3）由点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，得
∠APO=∠APM，∠BPO=∠BPN．
由角的和差，得
∠APO+∠BPO=∠APB=α，
∠APM+∠BPN=∠APO+∠BPO=∠APB=α，
∠MPN=∠MPA+∠APO+∠BPO+∠BPN=α+α=2α．

点评 本题考查了轴对称，利用对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．