Question

14．如图所示，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于点D，求证：CD=$\frac{1}{2}$AE．

Answer 1

分析 延长CD交AB的延长线于F，由ASA证明△ACD≌△AFD，得出CD=DF=$\frac{1}{2}$CF，再由ASA证明△BCF≌△BAE，得出CF=AE，即可得出结论．

解答 证明：延长CD交AB的延长线于F，如图所示：
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∵AE是∠A的平分线，
∴∠CAD=∠FAD，
在△ACD和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ADF}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{∠CAD=∠FAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF=$\frac{1}{2}$CF，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=90°，
∴∠F+∠BCF=90°，
∵∠F+∠BAE=90°，
∴∠BCF=∠BAE，
在△BCF和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠ABE=90°}&{\;}\\{BC=BA}&{\;}\\{∠BCF=∠BAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BAE（ASA），
∴CF=AE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角的平分线；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．