Question

4．如图，△ABD和△CDB是两块形状、大小相同的三角尺，它们较长的直角边靠在一起（即重合在线段BD上），∠1=∠2=30°，∠ADB=∠CBD=90°，AD=8$\sqrt{3}$cm，连接AC，AC与BD相交于O点．求AC的长度．

Answer 1

分析 易证四边形ABCD是平行四边形，则AO=CO，BO=DO，由∠1=30°，AD=8$\sqrt{3}$cm，可知AB=16$\sqrt{3}$cm，根据勾股定理BD=24cm，所以OD=12cm，在Rt△ADO中，AO=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$，于是AC=2AO．

解答 解：∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，
∵∠ADB=∠CBD=90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵∠1=30°，AD=8$\sqrt{3}$cm，
∴AB=16$\sqrt{3}$cm，
在Rt△ABD中，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=24cm，
∴OD=12cm，
在Rt△ADO中，
AO=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$=4$\sqrt{21}$，
∴AC=2AO=8$\sqrt{21}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解决此题的关键是把求AC转化为先求AC的一般AO，这样容易发现用勾股定理即可解决问题．